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By Olivier Debarre

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Soit A = (a i j ) une matrice de GLn (K) qui commute à tous les éléments de SLn (K). On a alors, pour tous i = j , A(In + Ei j ) = (In + Ei j )A, c’est-à-dire AEi j = Ei j A. Or la matrice AEi j est formée de la i -ème colonne de A placée comme j -ème colonne, avec des 0 ailleurs. De la même façon, la matrice Ei j A est formée de la j -ème ligne de A placée comme i -ème ligne, avec des 0 ailleurs. On en déduit a i i = a j j , puis a j k = 0 pour tout k = j , et a l i = 0 pour tout l = i . La matrice A est donc une homothétie.

Montrer que G est résoluble. 11. — Montrer que tout groupe d’ordre 72 est résoluble (Indication : on pourra considérer les 3-sous-groupes de Sylow et utiliser l’exerc. 31). 12. — Montrer que tout groupe d’ordre 495 est résoluble (Indication : on pourra considérer les 5- et 11-sous-groupes de Sylow, montrer que l’un d’eux est distingué, puis utiliser les exercices précédents). 13. — Montrer que tout groupe d’ordre 2907 est résoluble (Indication : on pourra utiliser l’exerc. 37). 14. — Soit K un corps et soit n un entier 1.

Ce sont des éléments de SLn (K). 1. Centre. — Rappelons que le centre d’un groupe est le sous-groupe formé des éléments qui commutent avec tous les éléments du groupe. Il est clair que les homothéties λIn , pour λ ∈ K× , sont dans le centre de GLn (K). 1. — Soit K un corps et soit n un entier 2. 1° Le centre de GLn (K) est réduit aux homothéties, c’est-à-dire Z(GLn (K)) K× . 2° Le centre de SLn (K) est SLn (K) ∩ Z(GLn (K)), qui est isomorphe à µn (K) := {λ ∈ K | λn = 1}. Démonstration. — Soit A = (a i j ) une matrice de GLn (K) qui commute à tous les éléments de SLn (K).

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